грант Российского научного фонда, проект № 22-71-00020

Руководитель проекта: Мартынова В.Ю., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование»

Коллектив исполнителей: Тихов С.В., Кондырев О.В.

Проект направлен на исследование математических моделей процессов распространения электромагнитных одночастотных связанных ТЕ-ТЕ волн в плоских волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой, разработке аналитических и численных методов решения задач, отвечающих данным процессам, программных комплексов, и проведению численного моделирования, с последующим анализом полученных результатов.

В современном мире большое количество материалов обладают нелинейными свойствами. Волноведущие структуры на основе таких материалов находят применение, в частности, в волоконной оптике, оптике интегральных структур и волноводов на них, плазмон-поляритонной фотонике, микро- и наноэлектронике и т.д. При этом, изучение нелинейных эффектов в диэлектрических средах и метаматериалах, а также их новых допустимых собственных мод, еще больше расширит возможные сферы применения нелинейных волноведущих структур. Кроме того, исследование указанных математических моделей будет полезно для учета нелинейных эффектов при проектировании оптических устройств, содержащих слоистые волноводы, заполненные нелинейной средой. Все это говорит об актуальности данного проекта.

Научная новизна проекта обосновывается исследованием новых режимов распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах, поскольку одночастотная связанная ТЕ-ТЕ волна характеризуется только одной постоянной распространения, в отличии от двухчастотных связанных ТЕ-ТЕ волн. Кроме того, фиксируется значение поля на одной из границ плоской волноведущей структуры, что дает дополнительную связь между касательными компонентами электрического поля. Нелинейность волноведущей структуры при этом определяется двумя параметрами нелинейности. Дополнительно будет рассмотрена волноведущая структура, в которой исходная одночастотная связанная волна распадается на две ТЕ-волны, связанные между собой общей постоянной распространения и условием для поля на одной из границ волновода. Задачи о распространении исследуемых в данном проекте волн приводят к новому типу нелинейных двухпараметрических задач, в которых только один из параметров является спектральным, а второй подбирается таким образом, чтобы существовало нетривиальное решение задачи. Задачи данного типа являются нелинейными как по искомым параметрам, так и по неизвестным функциям, относительно которых записаны уравнения. К нелинейным двухпараметрическим задачам нового типа относятся также задачи о распространении азимутально-симметричных гибридных и симметричных гибридных волн в нелинейных волноводах, для которых уже получены некоторые результаты, но существование решений указанных задач доказано лишь в ограниченной области, а используемый в приведенных работах подход не применим для волн исследуемых в данном проекте.

В проекте планируется разработка аналитических методов, которые позволят для обсуждаемых задач доказать существование чисто нелинейных решений, не связанных с возникающими в линейном случае решениями, что существенно продвинет развитие теории нелинейных двухпараметрических задач нового типа, поскольку именно нелинеаризуемые решения представляют наибольший интерес и с теоретической, и с практической точек зрения. Для этого предлагается использование модифицированного метода возмущений, основанного на использовании в качестве невозмущенной более простой нелинейной двухпараметрической задачи нового типа, для исследования разрешимости которой в свою очередь будет модифицирован метод интегральных характеристических уравнений.

Кроме того, в проекте запланированы разработка и обоснование численных методов решения указанных задач, которые будут реализованы в виде программного комплекса, позволяющего находить приближенные значения постоянных распространения одночастотной связанной ТЕ-ТЕ волны, строить собственные функции и рассчитывать другие важные характеристики плоских нелинейных волноведущих структур.

Разработка аналитических и численных методов решения выбранных в проекте нелинейных задач представляет самостоятельный интерес для теории нелинейных краевых задач, поскольку предлагаемые в проекте методы впоследствии могут быть применимы и для других задач математической физики, сводящихся к нелинейным двухпараметрическим задачам, в частности, возможно удастся доказать существование рассмотренных ранее азимутально-симметричных гибридных и симметричных гибридных волн в области, где линейные задачи не могут иметь решений. Вместе с тем, результаты проекта станут фундаментальной научной основой для выполнения прикладных исследований, связанных с обнаружением новых режимов распространения волн в нелинейных средах, а также позволят проектировать новые материалы с учетом нелинейных эффектов.

Цель проекта: разработка аналитических и численных методов решения задач распространения электромагнитных одночастотных связанных ТЕ-ТЕ волн в плоском нелинейном волноводе, а также реализация полученных методов в виде программного комплекса для расчета постоянных распространения указанных волн.

Задачи проекта

В ходе выполнения проекта будут исследованы:
– задача о распространении электромагнитных одночастотных связанных ТЕ-ТЕ волн в плоском диэлектрическом волноводе, заполненном анизотропной нелинейной средой;
– задача о распространении двух электромагнитных ТЕ волн в плоском диэлектрическом волноводе, заполненном анизотропной нелинейной средой, связанных условием на значение касательных составляющих электрических полей на одной из границ волновода;
– задача о распространении электромагнитных одночастотных связанных ТЕ-ТЕ волн в плоском волноводе, заполненном анизотропным нелинейным метаматериалом;
– задача о распространении двух электромагнитных ТЕ волн в плоском волноводе, заполненном анизотропным нелинейным метаматериалом, связанных условием на значение касательных составляющих электрических полей на одной из границ волновода.

Ожидаемые результаты проекта.

При реализации проекта предполагается получить следующие результаты:
–  доказательство существования электромагнитных одночастотных связанных ТЕ-ТЕ волн и двух связанных ТЕ волн в плоских волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой;
–  разработка, теоретическое обоснование и программная реализация численных методов нахождения приближенных постоянных распространения изучаемых волн;
– создание программного комплекса для учета нелинейных эффектов в инженерных расчетах плоских волноведущих структур;
–  проведение численных расчетов и их анализ для ряда задач, возникающих в нелинейной оптике.  

Для поиска условий существования постоянных распространения изучаемых волн требуется разработка аналитических методов, которые станут частью фундаментальной теории нелинейных волноводов, необходимой для проектирования и для анализа волноведущих структур.

В данном проекте будет доказано существование нового типа волн в нелинейных волноведущих структурах, используемых в различных областях науки и техники, что, в частности, даст возможность моделировать новые режимы распространения волн и учитывать нелинейность при конструировании новых устройств в электронике, фотонике, оптике, нано- и микроэлектронике. Разработка предлагаемых численных методов позволит создать программный комплекс для учета нелинейных эффектов в инженерных расчетах плоских волноведущих структур. На данный комплекс будет получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Достигнутые результаты проекта. Исследована нелинейная двухпараметрическая задача, описывающая распространение двух электромагнитных ТЕ волн в плоском диэлектрическом волноводе, заполненном анизотропной нелинейной средой, связанных условием на значение касательных составляющих электрических полей на одной из границ волновода. Такая задача является нелинейной двухпараметрической задачей, в которой один из параметров является спектральным, а второй подбирается с учетом нетривиальности ее решения.  Описанная задача сведена к системе интегральных характеристических уравнений (ИХУ). Доказана эквивалентность решения вспомогательной задачи и решения системы ИХУ. Доказана теорема о существовании решений данной задачи. Разработан численный метод обсуждаемой задачи, позволяющий получить приближенные значения постоянной распространения двух электромагнитных ТЕ волн в плоском диэлектрическом волноводе, заполненном анизотропной нелинейной средой, связанных условием на значение касательных составляющих электрических полей на одной из границ волновода.

Область применения. Проект направлен на исследование распространения электромагнитных одночастотных связанных волн в плоских волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой. Изучаемая физическая задача сводится к новому типу двухпараметрических нелинейных задач, в которых только один из параметров спектральный (постоянная распространения электромагнитной волны), а второй подбирается таким образом, чтобы существовало нетривиальное решение задачи. Развитие теории таких задач состоит из аналитических методов исследования, которые позволяют строго доказывать существование решений и исследовать их свойства, а также численных методов, на основе которых возможна разработка программных комплексов не только для поиска решений, но и для расчета важных характеристик изучаемых нелинейных волноведущих структур. Влияние сильных полей на среду, в частности, эффект самофокусировки, было обнаружено в середине прошлого века и до сих пор исследование возникающих в сильных полях эффектов остается актуальным. Нелинейные эффекты находят применение в волоконной оптике, оптике интегральных структур и волноводов на них, плазмон-поляритонной фотонике, микро- и наноэлектронике и т.д. Развитие данных областей приводит к созданию новых материалов, имеющих нелинейные свойства. В данном проекте предлагается изучение нового типа волн, которые могут существовать только при наличии нелинейных свойств среды. Доказательство существования таких волн покажет принципиальную возможность возникновения новых режимов распространения в материалах, которые обладают нелинейными свойствами. Общая теория решения рассматриваемых в проекте задач не развита, что ограничивает возможности учета нелинейных эффектов при конструировании волноведущих структур, и не позволяет создавать новые нелинейные материалы, поддерживающие определённые режимы распространения волн. Таким образом, отсутствие фундаментальных исследований в этой области ограничивает прикладное развитие отрасли. Данное исследование дополнит представления об электродинамических процессах в нелинейных плоских волноведущих структурах.