Стипендия Президента Российской Федерации для молодых ученых и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики, проект № СП-2051.2021.5

Руководитель проекта: Мартынова В.Ю., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование»

Существует ряд новых, не решенных к настоящему времени, фундаментальных задач нелинейной оптики, например, задачи о распространении электромагнитных волн специальных типов в плоских нелинейных волноводах.
Настоящий проект направлен на исследование задач, отвечающих распространению так называемых гибридных ТЕ-ТЕ- и ТЕ-ТМ-волн в плоских нелинейных волноводах и развитие теории, позволяющей как выяснять вопрос о существовании собственных волн и их свойствах, так и проводить все необходимые расчеты для конкретных волноводов, в частности, вычислять постоянные распространения, собственные волны, рассчитывать энергию, переносимую собственными волнами. Возможности практического использования гибридных нелинейных собственных волн заключаются в том, что структура таких волн позволяет использовать два независимых параметра (это могут быть, например, частоты) для формирования собственной волны, а также управлять характеристиками волны на одной частоте, изменяя характеристики волны на второй частоте. Это может быть использовано в лазерной технике и теории генерации кратных гармоник.

Цель проекта: развитие теории гибридных электромагнитных волн, распространяющихся в плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой.

Задачи проекта: исследование разрешимости нелинейных двухпараметрических задач сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, принадлежащих новому классу задач на собственные значения, где только один из параметров является спектральным, а второй подбирается таким образом, чтобы существовало нетривиальное решение задачи на собственные значения. Указанное исследование включает в себя следующие пункты:
1) сведение задачи о распространении гибридных волн в плоскослоистых волноводах, заполненных нелинейной средой, к нелинейной задаче сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла;
2) доказательство теоремы о разрешимости нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла;
3) разработка численного метода и создание вычислительного алгоритма для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла и реализация его в виде комплекса программ.

Ожидаемые результаты проекта 

1. Теорема о разрешимости нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, отвечающей задаче о распространении гибридных ТЕ-ТЕ волн в планарном волноводе, заполненном нелинейной средой.

2. Численный метод решения задачи о распространении гибридных ТЕ-ТЕ волн в планарном волноводе, заполненном нелинейной средой. Комплекс программ для расчета постоянных распространения гибридных ТЕ-ТЕ волн.

3. Теорема о разрешимости нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла, отвечающей задаче о распространении гибридных ТЕ-ТМ волн в планарном волноводе, заполненном нелинейной средой.

4. Численный метод решения задачи о распространении гибридных ТЕ-ТМ волн в планарном волноводе, заполненном нелинейной средой. Комплекс программ для расчета постоянных распространения гибридных ТЕ-ТМ волн.

Достигнутые результаты проекта

В 2022 г. была изучена задача о распространении гибридных ТЕ-ТЕ волн в плоском закрытом анизотропном волноводе. Вторая и третья диагональные компоненты тензора относительной диэлектрической проницаемости волновода зависят от квадратов компонент электрического поля. Задача о распространении гибридных ТЕ-ТЕ волн относится к новому классу нелинейных двухпараметрических задач, где только один из параметров является спектральным (постоянная распространения гибридной ТЕ-ТЕ волны), а второй подбирается таким образом, чтобы существовало нетривиальное решение задачи на собственные значения. В данной задаче дополнительным параметром является значение одной их компонент магнитного поля на выбранной границе волновода, а значение модуля магнитного поля на этой границе волновода является фиксированным.
Для изучаемой задачи получена система характеристических уравнений. При этом характеристические функции непрерывно зависят от искомых параметров задачи. На основании данного факта, обоснован модифицированный метод пристрелки по спектральному параметру, позволяющий численно находить приближенные значения постоянных распространения гибридных ТЕ-ТЕ-волн и соответствующих им значения касательных компонент магнитного поля на выбранной границе волновода при фиксированном значении модуля магнитного поля на этой границе волновода.

Область применения.   В настоящее время нелинейные эффекты, возникающие при распространении электромагнитных волн в веществе, имеют широкое применение, например, в физике плазмы, нелинейной оптике, лазерной технике и микроэлектронике. Кроме того, развивается синтез материалов, демонстрирующих нелинейные свойства. В том числе, появилась возможность синтезировать материалы с заданными свойствами. Все это ведет к дальнейшему расширению приложений нелинейных эффектов в практической отрасли. Исследование гибридных волн в плоскослоистых волноводах, заполненных нелинейной средой, позволит лучше изучить свойства таких волн, а разработка численных методов решения данных задач – проводить необходимые расчеты для конкретных волноводов.